Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit & Bayes

15 Min.

Lernziele

•Sie können bedingte Wahrscheinlichkeiten korrekt von ihren Umkehrungen unterscheiden.
•Sie können die Bayes-Formel intuitiv über eine hypothetische Kohorte ableiten.
•Sie können erklären, warum bei seltenen Krankheiten ein zweiter Bestätigungstest unverzichtbar ist.

P(Krank | Test positiv) – PPV

7.5 %

7.20 von 96.5 positiven Befunden sind echt.

P(Gesund | Test negativ) – NPV

99.9 %

903 von 904 negativen Befunden sind echt.

Frequenz-Baumdiagramm

Eine Kohorte von 1'000 Personen, schrittweise zerlegt.

2 × 2-Kontingenztafel

Wahrer Zustand (Zeilen) × Testergebnis (Spalten), bei N = 1'000.

Bayes-Formel mit eingesetzten Werten

Wir suchen P(Krank | +) = P(+ | Krank) · P(Krank) / P(+).

P(D | +) = 90.0 % · 0.80 % / [90.0 % · 0.80 % + 9.0 % · 99.2 %]

P(D | +) = 0.0072 / [0.0072 + 0.0893]

P(D | +) = 7.46 %

Dot-Grid: 1'000 hypothetische Personen

Jeder Punkt steht für eine Person. Die richtig positiven sind das, was wir suchen – die falsch positiven sind das Problem.

TP – richtig positiv (7)FN – falsch negativ (1)FP – falsch positiv (89)TN – richtig negativ (903)

Was sagt uns das?

→Grundratenvernachlässigung: Obwohl die Sensitivität bei 90.0 % liegt, sind weniger als die Hälfte der positiven Befunde echt. Das ist der Effekt der seltenen Krankheit – die meisten positiven Resultate sind falsch-positiv (89.3 von 96.5).
→Erhöht man die Prävalenz – etwa durch gezieltes Screening einer Risikogruppe – steigt der PPV oft dramatisch, obwohl die Testgüte gleich bleibt. Genau deshalb sind Massenscreenings bei seltenen Krankheiten heikel (Gigerenzer & Hoffrage 1995).